Что такое дополнительный множитель

Содержание

В этой статье мы поговорим про приведение дробей к новому знаменателю. Сначала мы разберемся, что называют приведением дроби к общему знаменателю. После этого дадим определение дополнительного множителя и научимся находить дополнительный множитель, приводящий исходную дробь к указанному знаменателю. Наконец, мы озвучим правило приведения дроби к новому знаменателю и рассмотрим пример его применения.

Навигация по странице.

Что значит привести дробь к новому знаменателю?

Для начала проясним, что называют приведением дроби к новому знаменателю.

Из основного свойства дроби следует, что любая обыкновенная дробь a/b имеет бесконечно много равных ей дробей, которые получаются при умножении числителя и знаменателя исходной дроби на любое натуральное число m . Таким образом, любую обыкновенную дробь a/b мы можем заменить равной ей дробью с большим числителем и знаменателем вида . Так от исходной дроби мы можем перейти к дроби с новым знаменателем.

Теперь интуитивно понятно, что подразумевает приведение дроби к новому знаменателю. Привести дробь к новому знаменателю – это значит умножить числитель и знаменатель исходной дроби на некоторое натуральное число m , в результате получается дробь с новым знаменателем, причем она равна исходной дроби.

Рассмотрим пример. Пусть дана обыкновенная дробь 11/25 , и ее нужно привести к новому знаменателю. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на 4 . Так как 11·4=44 и 25·4=100 , то после умножения мы получим дробь 44/100 . В итоге дробь 11/25 приведена к дроби с новым знаменателем вида 44/100 . Весь процесс принято записывать в виде следующей цепочки равенств: .

Понятно, что исходную дробь можно привести к множеству разных знаменателей (если бы в рассмотренном выше примере мы провели умножение не на 4 , а на другое число, то мы бы пришли к дроби с другим знаменателем). Но новым знаменателем данной дроби могут быть не все числа. Новыми знаменателями дроби a/b могут быть лишь числа b·m , кратные числу b (смотрите делители и кратные). Числа, не кратные числу b , не могут быть новыми делителями дроби. Для уяснения этого момента рассмотрим решение примера.

Можно ли привести дробь 5/9 к новому знаменателю 54 ? А к знаменателю 21 ?

Число 54 является кратным знаменателя 9 исходной дроби (другими словами, 54 делится на 9 ), значит, дробь 5/9 можно привести к знаменателю 54 .

А число 21 на 9 не делится, поэтому исходная обыкновенная дробь не может быть приведена к знаменателю 21 .

дробь 5/9 можно привести к знаменателю 54 , а к знаменателю 21 – нельзя.

Дополнительный множитель

Дополнительный множитель – это натуральное число, на которое нужно умножить числитель и знаменатель дроби, чтобы привести ее к новому знаменателю.

Для приведения дроби к новому знаменателю, ее числитель и знаменатель нужно умножить на дополнительный множитель. Например, дополнительный множитель 3 позволяет привести дробь 7/10 к дроби 21/30 , так как . А с помощью дополнительного множителя 5 из обыкновенной дроби 3/8 получается дробь 15/40 .

Если указано, к какому знаменателю нужно привести дробь, то возникает вопрос: «Как найти дополнительный множитель, который приведет исходную дробь к дроби с указанным знаменателем»?

Читайте также:  Флеш игры азартные слот автоматы

Итак, давайте разберемся, как найти дополнительный множитель m , если дробь a/b нужно привести к знаменателю c .

Умножив знаменатель дроби a/b на дополнительный множитель m , мы получим произведение b·m , которое по условию равняется c , то есть, b·m=c . Тогда существующая связь между умножением и делением позволяет нам утверждать, что дополнительный множитель m представляет собой частное от деления c на b , то есть, m=c:b .

Итак, чтобы найти дополнительный множитель, позволяющий привести дробь к указанному знаменателю, нужно требуемый знаменатель разделить на исходный знаменатель.

Найдите дополнительный множитель, который приводит обыкновенную дробь 17/4 к знаменателю 124 .

Искомый дополнительный множитель можно найти, разделив нужный нам знаменатель 124 на знаменатель исходной дроби 4 . Осталось лишь провести вычисления: 124:4=31 (при необходимости смотрите правила и примеры деления натуральных чисел).

Находить дополнительные множители наиболее часто приходится, выполняя приведение дробей к общему знаменателю.

Правило и пример приведения дроби к указанному знаменателю

Пришло время дать правило приведения дроби к указанному знаменателю. Чтобы привести дробь к данному знаменателю c нужно:

  • во-первых, вычислить дополнительный множитель;
  • во-вторых, умножить числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель.

Рассмотрим применение этого правила при решении примера.

Приведите дробь 7/16 к знаменателю 336 .

Сначала находим дополнительный множитель. Для этого делим 336 на 16 , получаем 336:16=21 .

Осталось числитель и знаменатель умножить на дополнительный множитель 21 , имеем .

Так мы привели дробь 7/16 к дроби 147/336 со знаменателем 336 .

.

В данном материале мы разберем, как правильно приводить дроби к новому знаменателю, что такое дополнительный множитель и как его найти. После этого сформулируем основное правило приведения дробей к новым знаменателям и проиллюстрируем его примерами задач.

Понятие приведения дроби к другому знаменателю

Вспомним основное свойство дроби. Согласно ему, обыкновенная дробь a b (где a и b – любые числа) имеет бесконечное количество дробей, которые равны ей. Такие дроби можно получить, умножив числитель и знаменатель на одинаковое число m (натуральное). Иными словами, все обыкновенные дроби могут быть заменены другими вида a · m b · m . Это и есть приведение исходного значения к дроби с нужным знаменателем.

Привести дробь к другому знаменателю можно, умножив ее числитель и знаменатель на любое натуральное число. Главное условие – множитель должен быть одинаков для обоих частей дроби. В итоге получится дробь, равная исходной.

Проиллюстрируем это примером.

Привести дробь 11 25 к новому знаменателю.

Решение

Возьмем произвольное натуральное число 4 и умножим обе части исходной дроби на него. Считаем: 11 · 4 = 44 и 25 · 4 = 100 . В итоге получилась дробь 44 100 .

Все подсчеты можно записать в таком виде: 11 25 = 11 · 4 25 · 4 = 44 100

Выходит, любую дробь можно привести к огромному количеству разных знаменателей. Вместо четверки мы могли бы взять другое натуральное число и получить еще одну дробь, эквивалентную исходной.

Но не любое число может стать знаменателем новой дроби. Так, для a b в знаменателе могут стоять только числа b · m , кратные числу b . Вспомните основные понятия деления – кратные числа и делители. Если число не кратно b , но делителем новой дроби оно быть не может. Поясним нашу мысль примером решения задачи.

Вычислить, возможно ли приведение дроби 5 9 к знаменателям 54 и 21 .

Решение

54 кратно девятке, которая стоит в знаменателе новой дроби (т.е. 54 можно разделить на 9 ). Значит, такое приведение возможно. А 21 мы разделить на 9 не можем, поэтому такое действие для данной дроби выполнить нельзя.

Понятие дополнительного множителя

Сформулируем, что такое дополнительный множитель.

Дополнительный множитель представляет собой такое натуральное число, на которое умножают обе части дроби для приведения ее к новому знаменателю.

Читайте также:  Слот помидор играть бесплатно и без регистрации

Т.е. когда мы выполняем это действие с дробью, мы берем для нее дополнительный множитель. Например, для приведения дроби 7 10 к виду 21 30 нам потребуется дополнительный множитель 3 . А получить дробь 15 40 из 3 8 можно с помощью множителя 5 .

Соответственно, если мы знаем знаменатель, к которому необходимо привести дробь, то мы можем вычислить для нее и дополнительный множитель. Разберем, как это сделать.

У нас есть дробь a b , которую можно привести к некоторому знаменателю c ; вычислим дополнительный множитель m . Нам надо произвести умножение знаменателя исходной дроби на m . У нас получится b · m , а по условию задачи b · m = c . Вспомним, как связаны между собой умножение и деление. Эта связь подскажет нам следующий вывод: дополнительный множитель есть не что иное, как частное от деления c на b , иначе говоря, m = c : b .

Таким образом, для нахождения дополнительного множителя нам нужно разделить требуемый знаменатель на исходный.

Найдите дополнительный множитель, с помощью которого дробь 17 4 была приведена к знаменателю 124 .

Решение

Используя правило выше, мы просто разделим 124 на знаменатель первоначальной дроби – четверку.

Считаем: 124 : 4 = 31 .

Выполнять расчеты такого типа часто требуется при приведении дробей к общему знаменателю.

Правило приведения дробей к указанному знаменателю

Перейдем к определению основного правила, с помощью которого можно привести дроби к указанному знаменателю. Итак,

Для приведения дроби к указанному знаменателю нужно:

  1. определить дополнительный множитель;
  2. умножить на него и числитель, и знаменатель исходной дроби.

Как применить это правило на практике? Приведем пример решения задачи.

Выполните приведение дроби 7 16 к знаменателю 336 .

Решение

Начнем с вычисления дополнительного множителя. Разделим: 336 : 16 = 21 .

Полученный ответ умножаем на обе части исходной дроби: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336 . Так мы привели исходную дробь к нужному знаменателю 336 .

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

1. Что значит привести дробь к новому знаменателю? Что такое дополнительный множитель? Какое число может быть новым знаменателем данной дроби?

Повторение. Основное свойство дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Например, числитель и знаменатель дроби 2. Привести дробь к новому знаменателю. (Упражнения)

1. Приведите дробь к знаменателю 35.

Число 35 кратно 7, то есть 35 делится на 7 без остатка. Значит, это преобразование возможно. Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим 35 на 7. Получим 5. Умножим на 5 числитель и знаменатель исходной дроби.

2. Приведите дробь к знаменателю 18.

Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на исходный. Получим 3. Умножим на 3 числитель и знаменатель данной дроби.

3. Приведите дробь к знаменателю 60.

Разделив 60 на 15, получим дополнительный множитель. Он равен 4. Умножим числитель и знаменатель на 4.

Читайте также:  Сайт про казино

4. Приведите дробь к знаменателю 24

В несложных случаях приведение к новому знаменателю выполняют в уме. Принято только указывать дополнительный множитель за скобочкой чуть правее и выше исходной дроби.

3. Что значит привести дроби к общему знаменателю?

Дробь 4. Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю? Иллюстрирующий пример и алгоритм.

Пример. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби

Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. Это число 12. Найдем дополнительный множитель для первой и для второй дроби. Для этого 12 разделим на 4 и на 6. Три – это дополнительный множитель для первой дроби, а два – для второй. Приведем дроби к знаменателю 12.

Мы привели дроби 5. Привести дроби к наименьшему общему знаменателю. (Упражнения)

а) Привести к общему знаменателю дроби

Наименьший общий знаменатель равен 12. Дополнительный множитель для первой дроби – 4, для второй – 3. Приводим дроби к знаменателю 24.

б) Привести к общему знаменателю дроби

Наименьший общий знаменатель равен 45. Разделив 45 на 9 на 15, получим, соответственно, 5 и 3. Приводим дроби к знаменателю 45.

в) Привести к общему знаменателю дроби

Общий знаменатель – 24. Дополнительные множители, соответственно, – 2 и 3.

6. Пример. Как найти общий знаменатель, используя разложение на простые множители знаменателей исходных дробей

Иногда бывает трудно подобрать устно наименьшее общее кратное для знаменателей данных дробей. Тогда общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители.

Привести к общему знаменателю дроби

Разложим числа 60 и 168 на простые множители. Выпишем разложение числа 60 и добавим недостающие множители 2 и 7 из второго разложения. Умножим 60 на 14 и получим общий знаменатель 840. Дополнительный множитель для первой дроби – это 14. Дополнительный множитель для второй дроби — 5. Приведем дроби к общему знаменателю 840.

7. Заключение

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия, 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. – ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. – Просвещение, 1989.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Математика онлайн (Источник).

Домашнее задание

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)

Домашнее задание: №297, №298, №300.

Другие задания: №270, №290

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

«>

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *